Ce qui me reste de trois sessions de didactique de la mathématique

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Maurice Laurent a animé pour Une Ecole pour Demain en 1989 une série de trois week-ends sur la mathématisation et l’enseignement des mathématiques. Voici le feed-back d’un des participants.

Je me suis inscrite à ce stage en espérant qu’il m’aiderait à mieux cerner ce qui est une activité mathématique pour me permettre d’organiser utilement le temps de formation de mes stagiaires demandeurs d’emploi, dans le cadre de stages de remise à niveau.

Il m’est apparu, au cours de ces 3 sessions, qu’enseigner les maths n’est pas faire acquérir aux stagiaires une suite de chapitres sans lien entre eux, mais de développer leur faculté à établir des relations entre des nombres (ou leur représentation algébrique) ou entre des points dans l’espace. A partir de quelques situations bien choisies, leur permettre d’appréhender la multitude des champs d’application mathématiques dans lesquelles ces relations se retrouvent.

A l’occasion de ce travail, j’ai pu faire de nombreuses découvertes chez moi, et chez les autres en train de mathématiser, qui m’ont permis de prendre quelques repères pour m’aider dans cet enseignement :

  • Je dois prendre le temps qu’il faut pour avoir la compréhension des relations qui s’établissent entre les éléments étudiés, en m’assurant que chacun d’eux est appréhendé en tant que système de relations.
  • Je peux prendre conscience de beaucoup de relations en regardant fonctionner mon corps ou en utilisant mes doigts.
  • Lorsque je dois faire appel à ma mémoire pour résoudre un problème, c’est que je n’ai pas fait toutes les prises de conscience nécessaires pour pouvoir reconnaître les relations dont j’ai besoin.
  • Il y a des situations mathématiques sans avenir. Elles ne sont en fait que des cas particuliers ne permettant pas l’extension des acquisitions. D’autres, au contraire, peuvent être exploitées à l’infini. Les trouver nécessite de se référer à l’ensemble de la mathématique. Ce sont ces situations que l’on peut utilement faire visualiser.
  • Une image mentale se met en place après avoir expérimenté et pris conscience des relations qui vont être mises en évidence dans celle-ci. Une fois installée, elle est à ma disposition pour toujours, il me suffit de l’évoquer.
  • Je n’évoque pas une image précise, mais un ensemble de relations entre les éléments qui la composent.
  • Pour me permettre l’exploitation intégrale d’une image mentale, je dois m’assurer de pouvoir l’évoquer sous tous ses angles.
  • La figure que je vois doit pouvoir se déformer, se déplacer dans l’espace, en gardant toutes les relations qui font son identité.
  • Le passage de l’arithmétique à l’algèbre ne se fait aisément que lorsque je suis consciente de tous les rapports qui existent entre les nombres mis en jeux.

Pour acquérir la maîtrise des notions que nous avons travaillées, il m’a fallu chaque fois passer par différentes étapes :

  • L’observation d’une situation inconnue.
  • La mise en relation des différents éléments qui la composent :
    1. formulation d’hypothèses en vrac,
    2. structuration de ma recherche.
  • Par la répétition des situations observées, acquisition de la certitude de pouvoir retrouver les relations existantes.
  • Avec la pratique, le temps, ces relations deviennent pour moi une évidence.
  • Grâce à l’évocation de l’image mentale, elles sont donc immédiatement à ma disposition dans une situation semblable.
  • Je peux maintenant généraliser ces relations: passage à l’algèbre ou reconnaissance de ces relations dans un contexte différent.

Tous ces points sont pour moi des repères pour me permettre de mieux analyser ce qui se passe dans mes cours. A l’occasion de ces sessions, j’ai pu observer des conditions qui me sont nécessaires pour réussir mon apprentissage :

  • L’importance d’être présente à la consigne et de la respecter.
  • L’importance d’être confiante dans mes capacités, de ne pas vouloir faire autre chose avant d’avoir épuisé tous les aspects de l’exercice (éviter de penser à la formule avant de l’avoir découverte ou de me raccrocher à des savoirs pour ne pas avoir à affronter l’inconnu).

J’ai pu aussi m’interroger sur mon attitude en tant qu’enseignante :

  • Est-ce que je prends toujours le temps qu’il faut pour que les prises de conscience soient faites ?
  • Suis-je toujours consciente du fait que ce n’est pas parce que le stagiaire a effectué un exercice qu’il a fait les prises de conscience que celui-ci devrait susciter ?
  • Que faire lorsqu’un stagiaire ne fait pas ce que je lui demande ?
  • Comment lui faire prendre conscience que sa capacité à réussir l’exercice dépend de sa présence dans l’activité que je lui propose ?

A l’issue de ces sessions, l’action de mathématiser évoque pour moi l’application d’un fonctionnement mental à une situation mathématique. En cela je comprends maintenant bien le lien entre l’enseignement du français et celui des maths. Je retrouve l’algèbre partout.

Aussi, je me sens capable de savoir comment m’y prendre avec moi-même pour rechercher les prises de conscience nécessaires à la maîtrise d’une situation mathématique. Mais j’aimerais encore pouvoir explorer la mathématique pour en extraire les situations fondamentales et il me faudrait encore beaucoup mathématiser pour avoir immédiatement à ma disposition les prises de conscience inhérentes aux situations mathématiques à enseigner.

Longue est la formation des maîtres !

© Annette Cazaux
La Science de l’Education en Questions – N° 3 – juin 1993

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